Question

换元法求值域：
（1）y=x+

1-x

（2）y=x+

1-x2

（3）y=x+

1-2x2

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令

1-x

=t，（t≤1），则x=1-t²；则y=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

；从而求解．
（2）令cosa=x，（0≤a≤π），则y=x+

1-x2

=cosa+sina=

2

sin（a+

π

4

）；从而求解．
（3）令

2

2

cosa=x，（0≤a≤π），y=x+

1-2x2

=

2

2

cosa+sina=

6

2

sin（a+θ），（sinθ=

3

3

，cosθ=

6

3

），从而求解．

解答： 解：（1）令

1-x

=t，（t≤1），则x=1-t²；
则y=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

，
故∵t≤1，
∴-（t-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

；
故函数的值域为（-∞，

5

4

]；
（2）令cosa=x，（0≤a≤π），
则y=x+

1-x2

=cosa+sina=

2

sin（a+

π

4

）；
∵0≤a≤π，
∴

π

4

≤a+

π

4

≤π+

π

4

；
∴-1≤

2

sin（a+

π

4

）≤

2

；
故函数的值域为[-1，

2

]；
（3）令

2

2

cosa=x，（0≤a≤π），
y=x+

1-2x2

=

2

2

cosa+sina
=

6

2

sin（a+θ），（sinθ=

3

3

，cosθ=

6

3

）．
则-

2

2

≤

6

2

sin（a+θ）≤

6

2

；
故函数的值域为[-

2

2

，

6

2

]．

点评：本题考查了换元法求函数的值域，属于基础题．