Question

京广高铁的贯通，带动了沿线某站点所在市旅游业的发展．在车站附近，有一块边长为100m的正方形地皮，如图ABCD所示，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．市政府决定在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上．求矩形停车场PQCR面积S的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：设∠PAB=θ，求出AM和PM的值，进而可得PQ，PR 的值，由此求得S=PQ•PR 的值，设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=

t2-1

2

，代入S化简得S=4050（t-

10

9

）²+950，利用二次函数性质求出S=f（θ）的最大值和最小值．

解答： 解：设∠PAB=θ（0°≤θ≤90°），延长RP交AB于点M．
则AM=90cos θ，MP=90sin θ，则PQ=MB=AB-AM=100-90cos θ，PR=MR-MP=100-90sin θ，
所以S=PQ•PR=（100-90cos θ）（100-90sin θ）=10000-9000（sin θ+cos θ）+8100sin θcos θ．（6分）
令t=sin θ+cos θ（1≤t≤

2

），则sin θ•cos θ=

t2-1

2

．
所以S=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050（t-

10

9

）²+950．
故当t=

10

9

时，S有最小值950 m²；当t=

2

时，S有最大值（14050-9000

2

）m²．（12分）

点评：本题主要考查解三角形的实际应用，三角函数的恒等变换，以及二次函数性质的应用，属于中档题．