定义:对于函数f(x).若存在非零常数M.T.使函数f(x)对于定义域内的任意实数x.都有f=M.则称函数f(x)是广义周期函数.其中称T为函数f(x)的广义周期.M称为周距．x是以2为广义周期的广义周期函数.并求出它的相应周距M的值,.使f(A.ω.φ为常数.A＞0.ω＞0)为广义周期函数.并求出它的一个广义周期T和周距M,是周期T=2的周期函数.当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）-f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．
（1）证明函数f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；
（2）试求一个函数y=g（x），使f（x）=g（x）+Asin（ωx+φ）（x∈R）（A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T和周距M；
（3）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数，当函数f（x）=-2x+g（x）在[1，3]上的值域为[-3，3]时，求f（x）在[-9，9]上的最大值和最小值．

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件推导出f（x+2）-f（x）═2，由此证明函数f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2．
（2）设g（x）=kx+b（k≠0），由f(x+

2π

)-f(x)=

2kπ

，推导出f（x）是广义周期函数，并能求出并求出它的一个广义周期T和周距M．
（3）由f（x+2）-f（x）=-4，知f（x）是广义周期函数，且T=2，M=-4，由此能求出f（x）在[-9，9]上的最大值和最小值．

解答： （本题满分（16分）；第（1）小题（4分），第（2）小题（5分），第（3）小题7分）
（1）证明：∵f（x）=x+（-1）^x（x∈Z），
∴f（x+2）-f（x）=[（x+2）+（-1）^x+2]-[x+（-1）^x]=2，（非零常数）
∴函数f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是广义周期函数，
它的周距为2．（4分）
（2）解：设g（x）=kx+b（k≠0），
则f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）
∵f(x+

2π

)-f(x)=k(x+

2π

)+b+Asin[ω(x+

2π

)+φ]-[kx+b+Asin(ωx+φ)]=

2kπ

（非零常数）
∴f（x）是广义周期函数，且T=

2π

，M=

2kπ

．（ 9分）
（3）解：∵f（x+2）-f（x）=-2（x+2）+g（x+2）+2x-g（x）=-4，
∴f（x）是广义周期函数，且T=2，M=-4．（10分）
设x₁，x₂∈[1，3]满足f（x₁）=-3，f（x₂）=3，
由f（x+2）=f（x）-4得：
f（x₁+6）=f（x₁+4）-4=f（x₁+2）-4-4
=f（x₁）-4-4-4=-3-12=-15，
又∵f（x+2）=f（x）-4＜f（x），
∴f（x）在区间[-9，9]上的最小值是x在[7，9]上获得的，
而x₁+6∈[7，9]，∴f（x）在[-9，9]上的最小值为-15．（ 13分）
由f（x+2）=f（x）-4，
得f（x-2）=f（x）+4，
∴f（x₂-10）=f（x₂-8）+4=f（x₂-6）+4+4=…=f（x₂）+20=23，
又∵f（x-2）=f（x）+4＞f（x），
∴f（x）在区间[-9，9]上的最大值是x在[-9，-7]上获得的，
而x₂-10∈[-9，-7]，f（x）在[-9，9]上的最大值为23．（16分）

点评：本题考查广义周期函数的证明，考查广义周期函数的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．