Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=2，b₁=3，a₃+b₅=56，a₅+b₃=26．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若-x²+3x≤

2bn

2n+1

对任意n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₁=2，b₁=3，a₃+b₅=56，a₅+b₃=26，建立方程组，求出q，d，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）-x2+3x≤

2bn

2n+1

对任意n∈N^*恒成立，只需求出右边的最小值，即可求实数x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，

a1+2d+b1•q4=56 a1+4d+b1•q2=26

，（2分）
代入得

2+2d+3•q4=56 2+4d+3•q2=26

，消d得2q⁴-q²-28=0，
∴（2q²+7）（q²-4）=0，
∵{b_n}是各项都为正数的等比数列，
∴q=2
进而d=3，
∴an=3n-1，bn=3•2n-1（6分）
（Ⅱ）记cn=

3•2n-1

2n+1

，则cn+1-cn=3•2n-1•

2n-1

(2n+1)(2n+3)

＞0（10分）
∴c_n最小值为c₁=1，（12分）
∵-x2+3x≤

2bn

2n+1

对任意n∈N^*恒成立，
∴-x²+3x≤2，
∴x≥2，或x≤1（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．