Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线L₁：y=-x的一个交点的横坐标为4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程．
（Ⅱ）过点F任作直线L与曲线C交于A，B两点，由点A，B分别向（x-1）²+y²=

1

4

各引一条切线，切点分别为P，Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求证：cosα+cosβ为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）抛物线C与直线L₁：y=-x的一个交点的横坐标为4，求出交点坐标，即可求抛物线C的方程．
（Ⅱ）对直线l的斜率分存在和不存在两种情况：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义即可得出．

解答： （Ⅰ）解：∵抛物线C与直线L₁：y=-x的一个交点的横坐标为4，
∴交点坐标为（4，-4），
代入抛物线C：y²=2px，可得p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2k²+4，x₁x₂=1
∵cosα+cosβ=

|FP|

|AF|

+

|FQ|

|BF|

=

1 2

x1+1

+

1 2

x2+1

=

1

2

，
当l与x轴垂直时，cosα+cosβ=

1

2

，
综上，cosα+cosβ=

1

2

．

点评：熟练掌握点到直线的距离公式、圆的标准方程及切线的性质、分类讨论的思想方法、直线的方程与抛物线的方程联立并利用根与系数的关系及抛物线的定义是解题的关键．