Question

已知x，y，z∈R₊，x+y+z=3．
（1）求

1

x

+

1

y

+

1

z

的最小值
（2）证明：3≤x²+y²+z²＜9．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用“乘1法”和基本不等式即可得出；
（2）利用3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²；及作差x²+y²+z²-9=x²+y²+z²-（x+y+z）²=-2（xy+yz+xz）即可证明．

解答： （1）解：∵x，y，z∈R₊，x+y+z=3．
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

3

(x+y+z)(

1

x

+

1

y

+

1

z

)
=

1

3

(3+

y

x

+

x

z

+

y

x

+

y

z

+

z

x

+

z

y

)≥

1

3

(3+2

y x • x y

+2

x z • z x

+2

y z • z y

)=3，
当且仅当x=y=z=1时取等号，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

的最小值是3．
（2）证明：∵（x-y）²+（x-z）²+（y-z）²≥0，
∴2（x²+y²+z²）≥2xy+2xz+2yz，
∴3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²=3²，
∴x²+y²+z²≥3；
又x²+y²+z²-9=x²+y²+z²-（x+y+z）²=-2（xy+yz+xz）＜0．
综上可得：3≤x²+y²+z²＜9．

点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、“作差法”比较两个数的大小等基础知识与基本技能方法，考查了转化为能力和推理能力、计算能力，属于难题．