Question

设函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）•cosωx+cos²ωx-

1

4

（ω＞0）图象上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，A=

π

3

，求f（a）的值域．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先对函数f（x）进行化简，然后研究最高点与相邻最低点的坐标关系，根据条件，得出参数ω的值；（Ⅱ）利用余弦定理，得到边a的取值范围，再结合正弦函数的图象，研究f（a）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（ωx-

π

6

）•cosωx+cos²ωx-

1

4

=（sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

）•cosωx+cos²ωx-

1

4

=

3

2

sinωxcosωx+

1

2

cos²ωx-

1

4

=

3

4

sin2ωx+

1

4

cos2ωx
=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）
∴y=f（x）的周期为T=

2π

2ω

=

π

ω

．
∴|xA-xB|=

T

2

=

π

2ω

，
yA=

1

2

，yB=-

1

2

．
∵|AB|=

2

，
∴

(xA-xB)2+(yA-yB)2

=

2

，
∴ω=

π

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
f（x）=

1

2

sin（πx+

π

6

），
∴f（a）=

1

2

sin（πx+

π

6

）．
∵△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=

π

3

，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc．
∵b+c=2，
∴(b+c)2-

3

4

(b+c)2≤a2＜(b+c)2
∴1≤a＜2．
∴

7π

6

≤πa+

π

6

＜

13π

6

．
∴-1≤sin（πa+

π

6

）＜

1

2

．
∴-

1

2

≤

1

2

sin（πa+

π

6

）＜

1

4

．
∴f（a）的值域为[-

1

2

，

1

4

）．

点评：本题考查了两角和与差的三角函数公式、两点间距离公式、三角函数的图象、周期、值域，本题容量适中，运算量大，属于中档题．