Question

7．已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为F₁，F₂，点A在双曲线上，若|F₁A|=2|F₂A|，∠AF₂F₁的正切值为$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由离心率公式，可得c=2a，根据双曲线的定义，以及余弦定理建立a，c的关系即可得到结论．

解答 解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
由于点A在双曲线的右支上，则|F₁A|-|F₂A|=2a，
又|F₁A|=2|F₂A|，
∴解得|F₁A|=4a，|F₂A|=2a，|F₁F₂|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF₂F₁=$\frac{4{a}^{2}+4{c}^{2}-16{a}^{2}}{2×2a×2c}$=$\frac{1}{4}$，
∴tan∠AF₂F₁=$\sqrt{15}$．
故答案为：$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查双曲线的定义和性质，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．