Question

5．已知函数f（x）=2e^x-m-x，其中m为实数．
（1）当m=ln2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若m≤1，对任意x∈R，记f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）利用导数可得函数f（x）在∈（-∞，m-ln2）递减，在（m-ln2，+∞）递增，f（x）的最小值为g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，g（m）的最小值g（1）=ln2．

解答 解：（1）m=ln2时，f（x）=2e^x-ln2-x，f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）f′（x）=2e^x-m-1，令f′（x）=2e^x-m-1=0，得x=m-ln2．
当x∈（-∞，m-ln2）时，f′（x）＜0，当x∈（m-ln2，+∞）时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在∈（-∞，m-ln2）递减，在（m-ln2，+∞）递增，
f（x）的最小值为g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，
∵m≤1，∴g（m）的最小值g（1）=ln2．

点评 本题考查了函数的单调性，最值，及零点问题，属于中档题．