Question

10．记f（n）为最接近$\sqrt{n}$（n∈N^*）的整数，如f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=2，f（5）=2，…，若$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+$\frac{1}{f（3）}$+…+$\frac{1}{f（m）}$=4054，则正整数m的值为（　　）

• A． 2016×2017
• B． 2017²
• C． 2017×2018
• D． 2018×2019

Answer 1

分析 写出前几项，找出规律，即可求得m的值．

解答 解：由$\frac{1}{f（1）}$=1，$\frac{1}{f（2）}$=1，2个
$\frac{1}{f（3）}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{f（4）}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{f（5）}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{f（6）}$=$\frac{1}{2}$，4个
$\frac{1}{f（7）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（8）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（9）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（10）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（11）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（12）}$=$\frac{1}{3}$，6个
$\frac{1}{f（13）}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{f（14）}$=$\frac{1}{4}$，…$\frac{1}{f（20）}$=$\frac{1}{4}$，8个
…
∴…$\frac{1}{f[m×（m+1）]}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+$\frac{1}{f（3）}$+…+$\frac{1}{f（m）}$=1×2+$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{3}$×6+…+$\frac{1}{n}$×2n=4034，
则$\stackrel{n}{\overbrace{2+2+2+…+2}}$=4034，则2n=4034，则n=2017，
∴总共有2017个$\frac{1}{2017}$，
则$\frac{1}{f（m）}$=$\frac{1}{2017×2018}$，
故m的值为2017×2018；
故选C．

点评 本题考查函数值的求法，要求学生通过观察，分析归纳发现规律的能力，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于中档题．