Question

9．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{2π}{3}$		$\frac{8π}{3}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，当x∈[-π，π]时，恒有不等式g（x）-a-3＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据表中已知数据可得A，T，解得ω，φ的值，即可得解．
（2）由（1）可求g（x）=3$sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$-$\frac{1}{2}$，由x∈[-π，π]，解得-2≤g（x）≤$\frac{5}{2}$，由题意可得a+3＞$\frac{5}{2}$，即可得解．

解答 解：（1）根据表中已知数据，解得$A=3，ω=\frac{1}{2}，φ=\frac{π}{6}$．数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11}{3}π$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

…（每空1分）
函数表达式为$f（x）=3sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}}）$…（5分）
（2）由（1）知$f（x）=3sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}}）$，
∴g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$=3$sin[\frac{1}{2}（x+\frac{π}{3}）+\frac{π}{6}]$-$\frac{1}{2}$=3$sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$-$\frac{1}{2}$，…（7分）
∵x∈[-π，π]
∴（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]…（8分）
∴-$\frac{1}{2}$≤$sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$≤1，…（9分）
∴-2≤g（x）≤$\frac{5}{2}$，…（10分）
∵恒有不等式g（x）-a-3＜0成立，
∴a+3＞$\frac{5}{2}$，
∴a＞-$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．