Question

设x₁、x₂ 是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2

2

，则b的最大值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：先对函数进行求导，根据函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），可以得到△＞0且由韦达定理可得x₁+x₂，x₁x₂，把等式转化为关于x₁+x₂，x₁x₂的关系式，求出a、b的关系，把a看成未知数x，求三次函数的最值，利用导数求极值，是b²最大值，开方可求b的最大值．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
∵函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f'（x）=0有两不等实根x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴△＞0，∴b²+3a³＞0，恒成立，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=-

a

3

＜0，
∵|x₁|+|x₂|=2

2

，且x₁，x₂异号，
∴（|x₁|+|x₂|）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=8，∴b²=-3a³+18a²≥0，解得0＜a≤6，
设t=-3a³+18a²，则t′=-9a²+36a=-9a（a-4）（0＜a≤6），
令t′＞0，得0＜a＜4，t′＜0，得6≥a＞4，
t在（0，4]是增函数，在[4，6）是减函数，
∴a=4取得t最大96，∴b²最大值为96，∴b_max=4

6

故答案为：4

6

．

点评：由原函数极值点的个数判断出导函数解的个数，利用判别式得参数的关系，用韦达定理把参数和解联系起来，韦达定理是个很好的“桥梁”，求最大值要先求极大值，三次函数一般用导数来求．