题目内容
已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断
专题：导数的综合应用
分析：（1）因为f（x）=-x3+ax2+b，求出f（x）的导数，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能够求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）知，a∈[3，4]时，f（x）的单调递增区间为（0，
），单调递减区间为（-∞，0）和（
，+∞）．所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b．由此利用对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，能求出实数b的取值范围．
（2）由（1）知，a∈[3，4]时，f（x）的单调递增区间为（0，
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
解答：
解：（1）因为f（x）=-x3+ax2+b，
所以f′（x）=-3x2+2ax=-3x（x-
），
当a=0时，f'（x）≤0，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜
．
故f（x）的单调递增区间为（0，
）；
当a＜0时，令f'（x）＞0，得
＜x＜0．
故f（x）的单调递增区间为（
，0）．
综上所述，当a=0时，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，
）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（
，0）．
（2）由（1）知，a∈[3，4]时，
f（x）的单调递增区间为（0，
），
单调递减区间为（-∞，0）和（
，+∞），
所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b，
函数f（x）在x=
处取得极大值f（
）=
+b．
由于对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，
所以
即
解得-
＜b＜0．
因为对任意a∈[3，4]，b＞-
恒成立，
所以b＞(-
)max=-4，
所以实数b的取值范围是（-4，0）．
所以f′（x）=-3x2+2ax=-3x（x-
| 2a |
| 3 |
当a=0时，f'（x）≤0，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜
| 2a |
| 3 |
故f（x）的单调递增区间为（0，
| 2a |
| 3 |
当a＜0时，令f'（x）＞0，得
| 2a |
| 3 |
故f（x）的单调递增区间为（
| 2a |
| 3 |
综上所述，当a=0时，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，
| 2a |
| 3 |
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（
| 2a |
| 3 |
（2）由（1）知，a∈[3，4]时，
f（x）的单调递增区间为（0，
| 2a |
| 3 |
单调递减区间为（-∞，0）和（
| 2a |
| 3 |
所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b，
函数f（x）在x=
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
| 4a3 |
| 27 |
由于对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，
所以
|
|
| 4a3 |
| 27 |
因为对任意a∈[3，4]，b＞-
| 4a3 |
| 27 |
所以b＞(-
| 4a3 |
| 27 |
所以实数b的取值范围是（-4，0）．
点评：本题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力．
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设全集为U，若存在D1与D2（D1≠D2），D1⊆U，D2⊆U，使得y=f（x），x∈D1与y=f（x），x∈D2的值域相同，则称这两个函数为一对“同族函数“．现在U=[0，2π），f（x）=sinx，值域为[
，
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| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
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