Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，X轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，与曲线C：ρ=

2

交于A，B两点，已知|AB|≥

6

．
（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）若动点P（a，b）在曲线C围成的区域内运动，求点P所表示的图形的面积．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）直接利用参数方程中消去参数，求解，然后，根据极坐标和直角坐标之间的关系求解；
（2）首先，计算圆心到直线的距离，然后，求解其面积即可．

解答： 解：（1）直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

3

）=

a-b

2

，得
ρ（cosθcos

π

3

+sinθsin

π

3

）=

a-b

2

，
∴ρ（

1

2

cosθ+

3

2

sinθ）=

a-b

2

，
∴x+

3

y-（a-b）=0，
曲线C：ρ=

2

，
∴ρ²=2，
∴x²+y²=2，
∴曲线C的直角坐标方程x²+y²=2，
（2）圆心O到直线l的距离d=

|a-b|

2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

2- (a-b)2 4

=

8-(a-b)2

≥

6

，化为（a-b）²≤2．
a，b满足

|a|≤ 2 |b|≤ 2 a2+b2≤2

，∴-

2

≤b-a≤

2

．
∴点P所表示的面积S=π×（

2

）²-2×[

1

4

×π×（

2

）²-

1

2

×（

2

）²]=π+2．

点评：本题重点考查了直线的参数方程和普通方程、圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．