Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

5

3

，设其左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为B₁，且F₂到直线B₁F₁的距离为

4 5

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）直线B₁F₁的方程为bx-cy+bc=0，由已知得

2bc

a

=

4 5

3

，

c

a

=

5

3

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，得：

OA

•

OB

=0，设直线的方程为y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）直线B₁F₁的方程为

x

-c

+

y

b

=1，即bx-cy+bc=0，
由F₂到直线B₁F₁的距离为

4 5

3

，得

2bc

b2+c2

=

2bc

a

=

4 5

3

，
又

c

a

=

5

3

，所以b=2，a=3，…（4分）
所以椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）由|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，得：

OA

•

OB

=0，
若直线的斜率不存在，直线的方程为x=2
由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

，得

x=2 y=± 2 5 3

，
所以

OA

•

OB

=

16

9

与

OA

•

OB

=0矛盾，故直线的斜率存在，…（7分）
设直线的方程为y=k（x-2），由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

，
得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，
由题意△＞0恒成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2=

36(k2-1)

9k2+4

，…（9分）
由

OA

•

OB

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，
把x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2=

36(k2-1)

9k2+4

，
代入得（1+k²）•

36(k2-1)

9k2+4

-2k2•

36k2

9k2+4

+4k²，
解得k=±

3

2

，…（13分）
所以直线的方程为y=±

3

2

(x-2)，
即3x-2y-6=0或3x+2y-6=0．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．