Question

如图，正四棱锥S-ABCD，底面边长与高都是2，K是SC的中点，T是SB的中点．
（1）求证：KT∥平面SAD；
（2）求二面角K-AD-B的大小的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得KT∥BC，BC∥AD，从而KT∥AD，由此能证明KT∥平面SAD．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出二面角K-AD-B的余弦值．

解答： （1）证明：∵正四棱锥S-ABCD，底面边长与高都是2，K是SC的中点，T是SB的中点，
∴KT∥BC，BC∥AD，
∴KT∥AD，
∵KT?平面SAD，AD?平面SAD，
∴KT∥平面SAD．
（2）解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），D（0，-

2

，0），
S（0，0，2），C（-

2

，0，0），K（-

2

2

，0，1），

DA

=(

2

，

2

，0)，

DK

=（-

2

2

，

2

，1），
设平面DAK的法向量

n

=（x，y，z），

n • DA = 2 x+ 2 y=0 n • DK =- 2 2 x+ 2 y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，

3 2

2

），
又平面ADB的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角K-AD-B的大小的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

3 2 2

13 2

|=

3 13

13

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．