Question

5．已知M是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左支上一点，A、F分别为双曲线的右顶点和左焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{5}$-1
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 求出M的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，A（-a，0），F（c，0），△MAF为等边三角形，
则M（$\frac{c-a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}（c+a）}{2}$），
由双曲线的定义可得$\frac{c+a}{\frac{c-a}{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{c}{a}$
∴c²-3ac-4a²=0，
∴e²-3e-4=0，
∴e=4．
故选：B．

点评 本题考查双曲线C的离心率，考查双曲线的第二定义，正确运用双曲线的第二定义是关键．