Question

20．如图所示，△ABC和△BCD都是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，连接AD，E是线段AD的中点．
（1）判断直线CE与平面ABD是否垂直，并说明理由；
（2）由二面角D-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设BC中点为O，连接OD、OA，分别以射线OC、OD、OA为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法求出CE与平面ABD是不垂直．
（2）求出平面DCE和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角二面角D-CE-B的余弦值．

解答 解：（1）直线CE与平面ABD是不垂直．…（2分）
理由如下：
设BC中点为O，连接OD、OA，依题意得OC、OD、OA两两垂直，
分别以射线OC、OD、OA为x、y、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．…（3分）
不妨设AB=2，则得B（-1，0，0），C（1，0，0），$A（0，0，\sqrt{3}）$，$D（0，\sqrt{3}，0）$，$E（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
则$\overrightarrow{CE}=（-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{BA}=（1，0，\sqrt{3}）$
于是$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BA}=-1×1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×0+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}≠0$，
故CE与BA不垂直，由直线与平面垂直的定义知，CE与平面ABD是不垂直．       …（6分）
（2）由（1）知$\overrightarrow{CE}=（-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{CD}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BC}=（2，0，0）$
分别设平面DCE和平面BCE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2a=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1），…（8分）
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0-1+1=0，
∴二面角D-CE-B的大小是$\frac{π}{2}$，…（11分）
∴二面角二面角D-CE-B的余弦值为0．…（12分）

点评 本题考查线面位置关系的判断，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．