Question

17．已知数列{a_n}中，其前n项和S_n满足S_n=3a_n-2（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n+1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n≥2时，S_n-1=3a_n-1-2，与原递推式联立可得数列{a_n}为公比是$\frac{2}{3}$等比数列，并求得通项公式；
（2）把（1）中求得的数列通项公式代入b_n=（n+1）•a_n，利用裂项相消法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 （1）证明：由S_n=3a_n-2，①
得a₁=3a₁-2，∴a₁=1．
当n≥2时，S_n-1=3a_n-1-2，②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1，即2a_n=3a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$（n≥2）．
∴数列{a_n}为公比是$\frac{2}{3}$等比数列．
则${a}_{n}=1×（\frac{2}{3}）^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$；
（2）解：b_n=（n+1）•a_n=（n+1）•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴${T}_{n}=2×（\frac{2}{3}）^{0}+3×（\frac{2}{3}）^{1}+4×（\frac{2}{3}）^{2}+…+$$n（\frac{2}{3}）^{n-2}+（n+1）（\frac{2}{3}）^{n-1}$，③
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}=2×（\frac{2}{3}）^{1}+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+n（\frac{2}{3}）^{n-1}+（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$，④
③-④得：$\frac{1}{3}{T}_{n}=2+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-1}-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$=$2+\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$
=$2+2[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]-（n+1）（\frac{2}{3}）^{n}$．
∴${T}_{n}=12-（n+8）•（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．