Question

设F₁，F₂是双曲线x²-

y2

4

=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，是PF₁⊥PF₂，且|PF₁|=λ|PF₂|，则λ的值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线方程求出a，b，c，再设|PF₂|=t，则|PF₁|=λt（λ＞1），由PF₁⊥PF₂得（λt）²+t²=（2

5

）²①由双曲线的定义可得，λt-t=2②，解出方程组即可得到所求值．

解答： 解：由双曲线x²-

y2

4

=1得，a=1，b=2，c=

5

，
设|PF₂|=t，则|PF₁|=λt（λ＞1），
则由PF₁⊥PF₂得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即有（λt）²+t²=（2

5

）²①
由双曲线的定义可得，λt-t=2②
由①②得λ=2（

1

2

舍去）．
故答案为：2．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，以及定义的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．