Question

18．${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+xcosx）dx=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由定积分的性质和几何意义分别求得${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx=0，${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，由定积分的运算${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+xcosx）dx=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx=$\frac{π}{2}$．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+xcosx）dx=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx，
由y=xcosx为奇函数，由定积分的性质可知：奇函数的对称区间上的定积分为0，即${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx=0，
${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx的几何意义可知：表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆的一半，
则${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，
故${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+xcosx）dx=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{1}$（xcosx）dx=$\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$

点评 本题考查定积分的性质和几何意义，考查定积分的运算，考查计算能力，属于中档题．