Question

17．在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，cosD=-$\frac{1}{7}$，AD=DC=2．
（Ⅰ）求cos∠DAC及AC的长；
（Ⅱ）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）△ACD中，由余弦定理可得：AC²=${2}^{2}×2-2×{2}^{2}×（-\frac{1}{7}）$=$\frac{64}{7}$，解得AC．可得cos∠DAC=$\frac{\frac{1}{2}AC}{AD}$．
（2）设∠DAC=α=∠DCA．由（1）可得：cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．可得sin∠BAC=sin（120^°-α）．sinB=sin（∠BAC+∠BCA）=sin（180^°-2α）=sin2α．在△BAC中，由正弦定理可得：$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sinB}$．即可得出．

解答 解：（1）△ACD中，由余弦定理可得：AC²=${2}^{2}×2-2×{2}^{2}×（-\frac{1}{7}）$=$\frac{64}{7}$，解得AC=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．
∴cos∠DAC=$\frac{\frac{1}{2}AC}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{7}}{7}}{2}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
（2）设∠DAC=α=∠DCA．
由（1）可得：cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴sin∠BAC=sin（120^°-α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．
∴sinB=sin（∠BAC+∠BCA）=sin（180^°-2α）=sin2α=2×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
在△BAC中，由正弦定理可得：$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sinB}$．
∴BC=$\frac{\frac{8\sqrt{7}}{7}×\frac{3\sqrt{21}}{14}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$=3．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．