Question

12．设不等式$\left\{\begin{array}{l}{y＞1}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$，表示的平面区域为D．若曲线y=ax²+1上存在无数个点在D内，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 作出区域D，曲线y=ax²+1表示过点A（0，1）的抛物线，可行域存在无数个点满足抛物线，列出关系式求解可得．

解答 解：作出约束条件不等式$\left\{\begin{array}{l}{y＞1}\\{2x-y≥0}\end{array}\right.$所对应的可行域D（如图阴影），
曲线y=ax²+1上存在无数个点在D内，可知直线2x-y=0与抛物线相切是临界点，如图红色曲线下方满足题意，
设切点为P（m，2m），
y′=2ax，可得2am=2，2m=am²+1，可得m=1，
解得a=1，
可解得A（1，1），
结合图象可得要使y=ax²+1与D内存在无数个点落在D上，可得0＜a＜1，
故选：C．

点评 本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．