Question

已知命题p：?x∈R，x²+2x+m-5＜0，命题q：?k∈R，直线kx-y+k+1=0与椭圆

x2

4

+

y2

m

=1有公共点．若命题“p 且q”为真命题，求实数m 的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：若命题p为真，则m＜-（x-1）²+6，利用二次函数的单调性可得m＜6．
若命题q为真，由于直线kx-y+k+1=0过定点（-1，1），直线kx-y+k+1=0与椭圆

x2

4

+

y2

m

=1有公共点，可得点（-1，1）在椭圆内或在椭圆上，解出即可．由于命题“p 且q”为真命题，可得p与q为真命题，即可得出．

解答： 解：若命题p为真，则m＜-（x-1）²+6，∴m＜6．
若命题q为真，∵直线kx-y+k+1=0过定点（-1，1），直线kx-y+k+1=0与椭圆

x2

4

+

y2

m

=1有公共点，
∴点（-1，1）在椭圆内或在椭圆上，∴

m＞0，m≠4 1 4 + 1 m ≤1

，解得m≥

4

3

，且m≠4．
∵命题“p 且q”为真命题，
∴p与q为真命题，
∴m的取值范围为m∈[

4

3

，4)∪(4，6)．

点评：本题考查了二次函数的单调性、直线与椭圆的相交问题、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．