Question

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，|α|＜π），在同一周期内，当$x=\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值2；当$x=\frac{7π}{12}$时，f（x）取得最小值-2
（1）求函数f（x）的解析式；                      
（2）求函数f（x）的单调减区间（3）若$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$时，函数h（x）=2f（x）+1-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间．
（3）由题意利用正弦函数的图象，求得m的范围．

解答 （1）由题意，$A=2，T=2（{\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}}）=π，ω=\frac{2π}{T}=2$，
由$2×\frac{π}{12}+α=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$α=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$．
又因为-π＜α＜π，∴$α=\frac{π}{3}$，所以$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$\frac{π}{6}+2kπ≤2x≤\frac{7π}{6}+2kπ，k∈Z$，则$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调递减区间为$[{\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ}]$．
（3）由题意知，方程$sin（2x+\frac{π}{3}）=\frac{m-1}{4}$在$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上有两个根，
∵$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$，∴$2x+\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$\frac{m-1}{4}∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$，∴$m∈[{2\sqrt{3}+1，5}）$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标出φ的值；还考查了正弦函数的单调性、正弦函数的图象，属于中档题．