Question

9．在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：3$\overrightarrow{AM}$=2λ$\overrightarrow{AD}$+（3-3λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），则$\frac{|AM|}{|MB|}$=1．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，由题意可知$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），代入已知条件，整理得（3x-λ）$\overrightarrow{AB}$=（3-2λ）$\overrightarrow{AC}$，根据向量的基本定理可知只有当3x-λ=3-2λ=0时等式成立，即可求得x的值，求得$\frac{|AM|}{|MB|}$的值．

解答 解：设$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，
∵D为BC中点
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
3$\overrightarrow{AM}$=2λ$\overrightarrow{AD}$+（3-3λ）$\overrightarrow{AC}$，
可以化为3x$\overrightarrow{AB}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+（3-3λ）$\overrightarrow{AC}$，
化简为（3x-λ）$\overrightarrow{AB}$=（3-2λ）$\overrightarrow{AC}$，
∵只有当3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）$\overrightarrow{AB}$=（3-2λ）$\overrightarrow{AC}$才成立
∴λ=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，即M为AB中点
$\frac{|AM|}{|MB|}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，属于中档题．