Question

4．在三角形ABC中，A=45°，b=$\sqrt{2}$，三角形ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$，则$\frac{c}{sinC}$的值为$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而利用正弦定理即可计算得解$\frac{c}{sinC}$的值．

解答 解：∵A=45°，b=$\sqrt{2}$，三角形ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}$×c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：c=$\sqrt{3}+1$，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{2+（\sqrt{3}+1）^{2}-2×\sqrt{2}×（\sqrt{3}+1）×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
∴利用正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$2\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．