Question

14．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（4）=f（-2）=0，在区间（-∞，-3）与[-3，0]上分别递增和递减，则不等式xf（x）＞0的解集为（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）．

Answer 1

分析 由题意可得函数的图象关于y轴对称，且f（4）=f（2）=f（-2）=f（-4），画出f（x）的单调性示意图，由不等式xf（x）＞0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$②．，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足：f（4）=f（-2）=0，
可得函数的图象关于y轴对称，
且f（4）=f（2）=f（-2）=f（-4），
在区间（-∞，-3）与[-3，0]上分别递增和递减，画出f（x）的单调性示意图，如图：
则由不等式xf（x）＞0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$②．
解①求得2＜x＜4，解②求得x＜-4 或-2＜x＜0．
综上可得，不等式的解集为：（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4），
故答案为：（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）．

点评 本题主要考查函数的单调性、奇偶性以及函数的零点，属于中档题．