Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F、G分别为PD、PC、BC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDF；
（Ⅱ）求异面直线PB与EG所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接AC，交BD于点O，连接OF．由底面ABCD为正方形，可得AO=OC，利用三角形中位线定理可得：OF∥PA，再利用线面平行的判定定理即可证明PA∥平面BFD．
（II）建立如图所示的空间直角坐标系，利用$cos＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{EG}＞$=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{EG}|}$即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，连接AC，交BD于点O，连接OF．
∵底面ABCD为正方形，∴AO=OC，
又PF=FC，∴OF∥PA，
而OF?平面BFD，PA?平面BFD，
∴PA∥平面BFD．
（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系．则D（0，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），G（1，2，0）．
$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{EG}$=（1，2，-1），
∴$cos＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{EG}＞$=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{EG}|}$=$\frac{8}{\sqrt{{2}^{2}×3}\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴异面直线PB与EG所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．