Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0）对任意n∈N^*成立，令b_n=a_n+1-a_n，且{b_n}是等比数列．
（1）求实数k的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求和：S_n=b₁+2b₂+3b₃+…nb_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件先分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，进而求出b₁，b₂，b₃，由{b_n}成等比数列，由此能求出k．
（2）由已知条件求出b_n=2ⁿ，根据b_n=a_n+1-a_n，利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由S_n=b₁+2b₂+3b₃+…nb_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，利用错位相减法能求出S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a₂=3，
a₃=3×3-k×1=9-k，
a₄=3×（9-k）-k×3=27-6k，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b₁=3-1=2，b₂=6-k，b₃=18-5k，
∵{b_n}成等比数列，
∴b22=b₁•b₃，
∴（6-k）²=2×（18-5k），
解得k=2或k=0（舍）
当k=2时，a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴

bn+1

bn

=2，∴k=2时满足条件．
（2）∵b₁=2，{b_n}成等比数列，

bn+1

bn

=2，∴b_n=2ⁿ，
∴a₂-a₁=2，a3-a2=22，…，a_n-a_n-1=2^n-1，
∴a_n-a₁=1+2+2²+2³+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴a_n=2ⁿ．
（3）S_n=b₁+2b₂+3b₃+…nb_n
=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴Sn=(n-1)×2n+1+2．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．