Question

已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

-

1

2

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）y=sinx经过如何变换得到y=f（x）；
（Ⅲ）若f（α）=

3 2

10

，求sin2α的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=

2

2

sin（x-

π

4

）-1，从而可求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）把y=sinx的图象向右平移

π

4

个单位，可得y=sin（x-

π

4

）的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的

2

2

倍，横坐标不变，可得y=

2

2

sin（2x-

π

4

）的图象；再把所得图象向下平移1个单位，可得函数f（x）=

2

2

sin（x-

π

4

）-1的图象．
（Ⅲ）由

2

2

sin（α-

π

4

）-1=

3 2

10

可得sin（α-

π

4

）=

5 2 +3

5

，cos²（α-

π

4

）=1-sin²（α-

π

4

）=

59+30 2

25

，从而可求sin2α的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

-

1

2

=

1

2

sinx-

1+cosx

2

-

1

2

=

2

2

sin（x-

π

4

）-1，
故有：T=

2π

1

=2π，
∵-1≤sin（x-

π

4

）≤1
∴-1-

2

2

≤

2

2

sin（x-

π

4

）-1≤

2

2

-1
故函数f（x）的最小正周期为2π，值域是[-1-

2

2

，

2

2

-1]；
（Ⅱ）把y=sinx的图象向右平移

π

4

个单位，可得y=sin（x-

π

4

）的图象；
再把所得图象的纵坐标变为原来的

2

2

倍，横坐标不变，可得y=

2

2

sin（2x-

π

4

）的图象；
再把所得图象向下平移1个单位，可得函数f（x）=

2

2

sin（x-

π

4

）-1的图象．
（Ⅲ）∵

2

2

sin（α-

π

4

）-1=

3 2

10

，
∴sin（α-

π

4

）=

5 2 +3

5

，cos²（α-

π

4

）=1-sin²（α-

π

4

）=

59+30 2

25

，
∴sin2α=cos（

π

2

-2α）=cos（2α-

π

2

）=cos[2（α-

π

4

）]=2cos2(α-

π

4

)-1=2×

59+30 2

25

-1=

93+60 2

25

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查，属于中档题．