题目内容
若曲线C：y=x3-2ax2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数a的值为 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：求出原函数的导函数，由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0，进一步求解关于a的不等式得答案．
解答：
解：由y=x3-2ax2+2ax，得
y′=3x2-4ax+2a，
∵曲线C：y=x3-2ax2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，
∴对任意实数x，3x2-4ax+2a＞0恒成立，
∴△=（-4a）2-4×3×2a＜0．
解得：0＜a＜
．
∴整数a的值为1．
故答案为：1．
y′=3x2-4ax+2a，
∵曲线C：y=x3-2ax2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，
∴对任意实数x，3x2-4ax+2a＞0恒成立，
∴△=（-4a）2-4×3×2a＜0．
解得：0＜a＜
| 3 |
| 2 |
∴整数a的值为1．
故答案为：1．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率，考查了数学转化思想方法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
以A（-1，2 ），B（5，6）为直径端点的圆的方程是（ ）
| A、（x-2）2+（y-4）2=13 |
| B、（x-2）2+（y+4）2=13 |
| C、（x+2）2+（y-4）2=13 |
| D、（x+2）2+（y+4）2=13 |
点P（tan2013°，cos2013°）位于（ ）
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |