Question

设集合M={l|直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率}
（1）点（-2，2）到M中哪条直线的距离最小？
（2）设a∈R₊，点P（-2，a）到M中的直线距离的最小值记为d_min，求d_min的解析式．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）设直线l与直线y=2x相交于E（t，2t）．可得直线l的方程为：y-2t=t（x-t）．利用点到直线的距离公式可得点F（-2，2）到直线y=2x的距离d₁．点F（-2，2）到直线l的距离d₂．通过变形利用基本不等式即可比较出大小；
（2）利用点到直线的距离公式可得：a∈R₊，点P（-2，a）到M中的直线距离d=

|-2t-a+2t-t2|

t2+1

=

t2+a

t2+1

，令

t2+1

=m≥1，得到d=

m2-1+a

m

=m+

a-1

m

（m≥1）．利用导数研究其单调性极值，通过分类讨论即可得出．

解答： 解：（1）设直线l与直线y=2x相交于E（t，2t）．
则直线l的方程为：y-2t=t（x-t），化为tx-y+2t-t²=0．
点F（-2，2）到直线y=2x的距离d₁=

|-2×2-2|

5

=

6 5

5

．
点F（-2，2）到直线l的距离d₂=

|-2t-2+2t-t2|

t2+1

=

t2+2

t2+1

=

t2+1

+

1

t2+1

≥2，当且仅当t=0时取等号．
由

t2+1

+

1

t2+1

=

6

5

=

5

+

1

5

，可得

t2+1

=

5

，解得t=±2．
∴当t=±2时，d₁=d₂．
当t²＞4即t＞2或t＜-2时，d₂＞d₁．
当t²＜4即-2＜t＜2时，d₂＜d₁．
（2）a∈R⁺，点P（-2，a）到M中的直线距离d=

|-2t-a+2t-t2|

t2+1

=

t2+a

t2+1

，
令

t2+1

=m≥1，则t²=m²-1．
∴d=

m2-1+a

m

=m+

a-1

m

（m≥1）．
d′=1-

a-1

m2

=

m2-(a-1)

m2

．
①当a-1≤0即0＜a≤1时，d′＞0，d在m≥1单调递增，当m=1时，d取得最小值，d_min=1+a-1=a．
②当a-1＞0时，令d′=0，解得m=

a-1

．
当m＞

a-1

时，d′＞0，函数d单调递增；当1≤m＜

a-1

时，d′＞0，函数d单调递减．
∴当m=

a-1

时，d取得最小值，d_min=

a-1

+

a-1

a-1

=2

a-1

．
综上可知：dmin=

a，当m=1时 2 a-1 ，当m= a-1 时

．

点评：本题考查了点到直线的距离公式、基本不等式、利用导数研究函数的单调性极值与最值、作差法比较两个数的大小等基础知识与基本技能方法，属于难题．