题目内容
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，三个内角A，B，C成等差数列．
（1）若cosC=
，求c；
（2）求
•
的最大值．
（1）若cosC=
| ||
| 3 |
（2）求
| BA |
| BC |
考点：数列与三角函数的综合
专题：等差数列与等比数列,解三角形
分析：（1）由已知得2B=A+C，从而B=
，由正弦定理，得
=
，由此能求出c．
（2）由余弦定理，得b2=a2+c2-2acosB，又a2+c2≥2ac，由此能求出
•
的最大值．
| π |
| 3 |
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
（2）由余弦定理，得b2=a2+c2-2acosB，又a2+c2≥2ac，由此能求出
| BA |
| BC |
解答：
解：（1）∵三个内角A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，∴B=
，
又cosC=
，∴sinC=
，
由正弦定理，得
=
，
∴AB=
×sinC=
×
=2．
即c=2．
（2）由余弦定理，得b2=a2+c2-2acosB，
即32=a2+c2-ac，
又a2+c2≥2ac，
当且仅当a=c时，取等号，
∴9=a2+c2-ac≥ac，
∴
•
=
ac≤
．
∴
•
的最大值为
．
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，∴B=
| π |
| 3 |
又cosC=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
由正弦定理，得
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
∴AB=
| AC |
| sinB |
| 3 | ||||
|
| ||
| 3 |
即c=2．
（2）由余弦定理，得b2=a2+c2-2acosB，
即32=a2+c2-ac，
又a2+c2≥2ac，
当且仅当a=c时，取等号，
∴9=a2+c2-ac≥ac，
∴
| BA |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴
| BA |
| BC |
| 9 |
| 2 |
点评：本题考查三角形的边长的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、数列知识的合理运用．
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