Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：{

an

2n

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（Ⅰ）利用递推关系条件，根据等差数列定义，证明{

an

2n

}是等差数列，得到本题结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到数列{

an

2n

}的通项公式，从而得到数列{a_n}的通项公式；（Ⅲ）利用错位相减法，求出数列{a_n}的前n项和为S_n，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴{

an

2n

}是等差数列．
（Ⅱ）解：∵数列{a_n}满足a₁=1，
∴

a1

21

=

1

2

，
由（Ⅰ）知：{

an

2n

}是等差数列．
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)=n-

1

2

．
∴an=(2n-1)2n-1．
（Ⅲ）解：由an=(2n-1)2n-1得：
S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）2^n-1，…①
2S_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2ⁿ，…②
将①-②得：-S_n=1+2•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，
即：-S_n=1+（2•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
=1+

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ，
=-3+（3-2n）•2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评：本题考查了构造数列法求数列通项、错位相减法求数列的和，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．