Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），变形a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1），利用等比数列的通项公式可得：a_n+1-2a_n=（-1）^n-1，变形为：a_n+1+$\frac{1}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n+$\frac{1}{3}（-1）^{n-1}$]，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），
∴a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1），
∴数列{a_n+1-2a_n}是等比数列，首项为1，公比为-1．
∴a_n+1-2a_n=（-1）^n-1，
∴a_n+1+$\frac{1}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n+$\frac{1}{3}（-1）^{n-1}$]，
∴数列{a_n+$\frac{1}{3}$（-1）^n-1}为等比数列，公比为2，首项为$\frac{4}{3}$．
∴a_n+$\frac{1}{3}$（-1）^n-1=$\frac{4}{3}$×2^n-1=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．
∴a_n=$\frac{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}{3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．