Question

13．如图，设线段DA和平面ABC所成角为α（0＜α＜$\frac{π}{2}}$），二面角D-AB-C的平面角为β，则（　　）

• A． α≤β＜π
• B． α≤β≤π-α
• C． $\frac{π}{2}-α≤β＜π$
• D． $\frac{π}{2}-α≤β≤π-α$

Answer 1

分析 如图所示，图一：过点D作DO⊥平面ABC，垂足为O点，
连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E点，连接DE．则∠OAD是线段DA和平面ABC所成角α（0＜α＜$\frac{π}{2}}$），
∠OED是二面角D-AB-C的平面角β，利用直角三角形边角关系即可得出．α＜β＜π-α．同理图二中：可得α＜π-β，α

解答 解：如图所示，
图一：过点D作DO⊥平面ABC，垂足为O点，
连接OA，过点O作OE⊥AB，垂足为E点，连接DE．
则∠OAD是线段DA和平面ABC所成角α（0＜α＜$\frac{π}{2}}$），
∠OED是二面角D-AB-C的平面角β，
则tanα=$\frac{OD}{OA}$，tanβ=$\frac{OD}{OE}$，OA＞OE，
∴tanα＜tanβ，可得α＜β，α+β＜π，因此α＜β＜π-α．
同理图二中：tanα=$\frac{OD}{OA}$，tan（π-β）=$\frac{OD}{OE}$，
可得α＜π-β，α＜β，因此α＜β＜π-α．
综上可得：α＜β＜π-α．
故选：B．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．