Question

设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．
（1）求的值；
（2）证明：圆与轴必有公共点；
（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）  （2）见解析  （3）存在

试题分析：
（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.
（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，计算中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系(点线距离小于或者等于半径，即相交或者相切).
（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.
试题解析：
（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。                  2分
（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为     3分
由得方程，
由直线与抛物线相切，得                4分
且，从而，即，                   5分
由，解得，                     6分
∴的中点的坐标为
圆心到轴距离，
 
∵ 
所圆与轴总有公共点.           8分
(或 由, ,以线段为直径的方程为:

令得
,所圆与轴总有公共点）.           9分
（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，
设点坐标为，             10分
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或           13分
所以平面上存在定点，使得圆恒过点.            14分
证法二：由（2）知，，的中点的坐标为

所以圆的方程为           11分
整理得           12分
上式对任意均成立，
当且仅当，解得            13分
所以平面上存在定点，使得圆恒过点.            14分