Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.

Answer 1

(1) +=1    (2)    (3)见解析

(1)解:由题意知e==,
∴e²===,
即a²=b².
又b==,
∴b²=3,a²=4,
故椭圆的方程为+=1.
(2)解:由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=k(x-4).
由
得(4k²+3)x²-32k²x+64k²-12=0.
由Δ=(-32k²)²-4(4k²+3)(64k²-12)>0,
得k²<.
设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
则    (*)
∴y₁y₂=k²(x₁-4)(x₂-4)=k²x₁x₂-4k²(x₁+x₂)+16k²,
∴·=x₁x₂+y₁y₂
=(1+k²)·-4k²·+16k²
=25-
∵0≤k²<,
∴-≤-<-,
∴·∈.
∴·的取值范围是.
(3)证明:∵B、E两点关于x轴对称,
∴E(x₂,-y₂).
直线AE的方程为y-y₁=(x-x₁),
令y=0得x=x₁-,
又y₁=k(x₁-4),y₂=k(x₂-4),
∴x=.
将(*)式代入得,x=1,
∴直线AE与x轴交于定点(1,0).