Question

已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x₀,y₀)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

Answer 1

(1) x²=4y   (2) y=x₀x-y₀   (3)

解:(1)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,
∴=,得c=1,
∴F(0,1),即抛物线C的方程为x²=4y.
(2)设切点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
由x²=4y得y′=x,
∴切线PA:y-y₁=x₁(x-x₁),
有y=x₁x-+y₁,而=4y₁,
即切线PA:y=x₁x-y₁,
同理可得切线PB:y=x₂x-y₂.
∵两切线均过定点P(x₀,y₀),
∴y₀=x₁x₀-y₁,y₀=x₂x₀-y₂,
由此两式知点A,B均在直线y₀=xx₀-y上,
∴直线AB的方程为y₀=xx₀-y,
即y=x₀x-y₀.
(3)设点P的坐标为(x′,y′),
由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
则|AF|·|BF|=·
=·
=·
=(y₁+1)·(y₂+1)
=y₁y₂+(y₁+y₂)+1.
由
得y²+(2y′-x′²)y+y′²=0,
有y₁+y₂=x′²-2y′,y₁y₂=y′²,
∴|AF|·|BF|=y′²+x′²-2y′+1
=y′²+(y′+2)²-2y′+1
=2²+,
当y′=-,x′=时,
即P时,|AF|·|BF|取得最小值.