Question

已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求 的取值范围；
（3）如果直线交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值.

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：（1）由截距式可得直线的方程，根据点到线的距离公式可得间的关系，又因为，解方程组可得的值。（2）由点关于直线的对称点问题可知直线和直线垂直，且的中点在直线上，由此可用表示出。再将点代入椭圆方程将用表示代入上式，根据椭圆方程可的的范围，从而可得出所求范围。（3）将直线和椭圆方程联立，消去得关于的一元二次方程，根据韦达定理可得根与系数的关系。根据题意可知，可根据斜率相乘等于列出方程，也可转化为向量数量积为0列出方程。
试题解析：(Ⅰ)因为,,所以 .
因为原点到直线:的距离,解得,. 
故所求椭圆的方程为.        4分
(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为, 
所以    解得 ,.
所以.  
因为点在椭圆:上,所以. 
因为, 所以.所以的取值范围为.  9分
(Ⅲ)由题意消去 ,整理得.可知.
设,,的中点是, 
则,. 
所以.  所以.
即 .  又因为,
所以.
所以                    14分