Question

9．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t+4\end{array}$（t为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+2{{cos}^2}θ}}}$．
（1）写出直线l一般式方程与曲线C的直角坐标的标准方程；
（2）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t+4\end{array}$（t为参数），消去参数t可得直角坐标方程．曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+2{{cos}^2}θ}}}$即ρ²（1+2cos²θ）=3，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）设P$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，则d=$\frac{2sin（\frac{π}{6}-α）+3}{\sqrt{2}}$，利用三角函数的单调性值域即可得出最值．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t+4\end{array}$（t为参数），消去参数t可得直角坐标方程：x-y+3=0．
曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+2{{cos}^2}θ}}}$即ρ²（1+2cos²θ）=3，可得直角坐标方程：3x²+y²=3，化为标准方程：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设P$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，则d=$\frac{|cosα-\sqrt{3}sinα+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2sin（\frac{π}{6}-α）+3}{\sqrt{2}}$，
可得d_min=$\frac{3-2}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，d_max=$\frac{2+3}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴d的取值范围是$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{5\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性和值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．