Question

1．已知函数$f（x）=lnx+\frac{m}{x}+3x$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的m∈[0，2]，不等式f（x）≤（k+1）x，对x∈[1，e]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}+3=\frac{{3{x^2}+x-m}}{x^2}$，分①当-m≥0，②当m＞0讨论即可；
（2）对?m∈[0，2]，f（x）≤（k+1）x，即$lnx+\frac{m}{x}+3x≤（{k+1}）x$，
又x＞0，即m≤（k+1）x²-3x²-xlnx恒成立，（k+1）x²-3x²-xlnx≥2，可得$k≥\frac{2}{x^2}+\frac{lnx}{x}+2$．
令$g（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{2}{x^2}+2$，利用导数求出最大值即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}+3=\frac{{3{x^2}+x-m}}{x^2}$，
∵x＞0，所以①当-m≥0，即m≤0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当m＞0时，由f'（x）=0，得${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1+12m}}}{6}＜0$（不符合题意，舍），
${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}＞0$，所以由f'（x）＞0得$x＞\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}$，由f'（x）＜0得$0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}$，
∴f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{1+12m}}{6}$）上单调递减，在$（{\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}，+∞}）$上单调递增．
综上所述，当m≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；
当m＞0时，f（x）的递增区间为 $（{\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}，+∞}）$，递减区间为$（{0，\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}}）$．
（2）对?m∈[0，2]，f（x）≤（k+1）x，即$lnx+\frac{m}{x}+3x≤（{k+1}）x$，
又x＞0，∴m≤（k+1）x²-3x²-xlnx恒成立，∴（k+1）x²-3x²-xlnx≥2，∴$k≥\frac{2}{x^2}+\frac{lnx}{x}+2$．
令$g（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{2}{x^2}+2$，则$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}-\frac{4}{x^2}=\frac{x-lnx-4}{x^3}$，
又x∈[1，e]时，xlnx≥0，x＜4，∴x-xlnx-4＜0，
∴g'（x）＜0，∴g（x）在[1，e]上是减函数，
∴k≥g（1）=4，即k∈[4，+∞）．

点评 本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查了转化思想，属于中档题