题目内容
在矩形ABCD 中，AB=1，BC=
，点Q在BC边上，且BQ=
，点P在矩形内（含边界），则
•
的最大值为 ．
| 3 |
| ||
| 3 |
| AP |
| AQ |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由于|
|为定值，所以只需|
|cos∠PAQ最大，于是将
•
的最大值问题转化为向量
在
上的射影的最大值问题，从而确定P点的位置，再计算此时
•
的值即得结果．
| AQ |
| AP |
| AP |
| AQ |
| AP |
| AQ |
| AP |
| AQ |
解答：
解：
由|
|=
=
，
得
•
=|
|•|
|cos∠PAQ=
|
|cos∠PAQ，
∴要使
•
最大，只需向量
在
上的射影最大，
显然，当点P与C重合时，射影最大．
过C作CE⊥AQ，交AQ的延长线于E，如右图所示，
由|CQ|=
-
=
=|AQ|，及∠AQB=∠CQE，
知Rt△ABQ≌Rt△CEQ，
∴|CE|=|AB|=1．
又矩形对角线长|AC|=
=2，
∴(|
|cos∠PAQ)max=|AC|cos∠PAE=|AE|=
=
，
从而
•
的最大值为
×|AE|=
×
=2．
故答案为2．
由|| AQ |
| |AB|2+|BQ|2 |
2
| ||
| 3 |
得
| AP |
| AQ |
| AP |
| AQ |
2
| ||
| 3 |
| AP |
∴要使
| AP |
| AQ |
| AP |
| AQ |
显然，当点P与C重合时，射影最大．
过C作CE⊥AQ，交AQ的延长线于E，如右图所示，
由|CQ|=
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
知Rt△ABQ≌Rt△CEQ，
∴|CE|=|AB|=1．
又矩形对角线长|AC|=
| |AB|2+|BC|2 |
∴(|
| AP |
| |AC|2-|CE|2 |
| 3 |
从而
| AP |
| AQ |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
故答案为2．
点评：本题考查了数量积的定义及几何意义，化归思想的运用，关键是抓住“变”与“不变”，将
•
进行转化，并充分利用图形的几何特征才得以顺利求解．
| AP |
| AQ |
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