Question

15．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{{x}^{m}}$，x∈（0，+∞），且f（3）=$\frac{8}{3}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）研究f（x）在定义域内的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）利用x∈（0，+∞），可得函数非奇非偶；
（2）求出函数的解析式，利用导数，研究函数的单调性．

解答 解：（1）∵f（x）=x-$\frac{1}{{x}^{m}}$，x∈（0，+∞），且f（3）=$\frac{8}{3}$，
∴3-$\frac{1}{{3}^{m}}$=$\frac{8}{3}$，
∴m=1，
∴f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∵x∈（0，+∞），
∴函数非奇非偶；
（2）f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴x∈（0，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查函数解析式的确定，属于中档题．