Question

6．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，4S_n=a_n•a_n+1，n∈N⁺．
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）求前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）4S_n=a_n•a_n+1，n∈N⁺．可得当n=1时，4a₁=a₁•a₂，解得a₂=4．当n≥2时，4S_n-1=a_n-1a_n，可得a_n+1-a_n-1=4．因此数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4．进而得到该数列是等差数列，首项为2，公差为2．可得a_n．
（2）利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵4S_n=a_n•a_n+1，n∈N⁺．
∴当n=1时，4a₁=a₁•a₂，解得a₂=4．
当n≥2时，4S_n-1=a_n-1a_n，可得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵数列{a_n}的各项为正数，∴a_n+1-a_n-1=4．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4．
∴a_2k-1=2+4（k-1）=4k-2=2n，a_2k=4+4（k-1）=4k=2n．
∴该数列是等差数列，首项为2，公差为2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．