Question

设F是抛物线G：x²=4y的焦点，设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足

FA

•

FB

=0，延长AF、BF分别交抛物线G与C、D，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由x²=4y可得焦点F（0，1），设AF的方程为y=kx+1，则BF的方程为y=-

1

k

x+1，（k≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．联立

y=kx+1 x2=4y

，化为x²-4kx-4=0，利用根与系数的关系可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4（1+k²），同理可得|CD|=4(1+

1

k2

)，四边形ABCD面积S=

1

2

|AB|•|CD|=8(2+k2+

1

k2

)，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：由x²=4y可得焦点F（0，1），
设AF的方程为y=kx+1，则BF的方程为y=-

1

k

x+1，（k≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立

y=kx+1 x2=4y

，化为x²-4kx-4=0，可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[16k2+16]

=4（1+k²），
同理可得|CD|=4(1+

1

k2

)，
∴四边形ABCD面积S=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

×4(1+k2)×4(1+

1

k2

)
=8(2+k2+

1

k2

)≥8(2+2

k2• 1 k2

)=32．
当且仅当k=±1时取等号．
∴四边形ABCD面积的最小值为32．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长关公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．