Question

在如图所示的几何体中，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是梯形，AD⊥平面DEFG，EF∥DG，∠EDG=120°．AB=AC=FE=1，DG=2．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BFGC；
（Ⅱ）求证：FG⊥平面ADF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接CF，只要证明AE∥FC，利用线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）连接DF，AF，作DG的中点为H，连接EH，只要证明FG垂直DF，AD，利用线面垂直的判定定理．

解答： 证明：（Ⅰ）连接CF，
∵AC∥DG，EF∥DG，
∴AC∥EF又AC=EF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
∴AE∥FC，
又AE?平面BFGC，FC?平面BFGC，
∴AE∥平面BFGC；

（Ⅱ）连接DF，AF，作DG的中点为H，连接EH，
∵EF∥DH，EF=DH=ED=1，
∴四边形DEFH为菱形，
∵EF∥HG，EF=HG，
∴四边形DEFH为平行四边形，
∴FG∥EH，
∴FG⊥DF，
∵AD⊥平面DEFG，
∴AD⊥FG，
∵FG⊥DF，AD∩DF=D，
∴FG⊥面ADF．

点评：本题考查了线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理的运用；关键是将线面关系转化为线线关系进行证明．