Question

已知函数f（x）=lnx+ax²．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（2）若F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=-1时，f（x）=lnx-x²的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）=

1

x

-2x=

1-2x2

x

，从而求极值；
（2）化简F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，求导F′（x）=

1-lnx

x2

+a=

1-lnx+ax2

x2

；从而化使F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数为F′（x）≥0在定义域（0，+∞）上恒成立；从而化为a≥-

1-lnx

x2

在定义域（0，+∞）上恒成立；令g（x）=-

1-lnx

x2

，则g′（x）=-

2lnx-3

x3

，从而化为最值问题．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=lnx-x²的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-2x=

1-2x2

x

，
故函数f（x）在（0，

2

2

）上单调递增，在（

2

2

，+∞）上单调递减；
故x=

2

2

时，函数f（x）取得极大值f（

2

2

）=-

1

2

ln2-

1

2

；
（2）F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

+ax，
F′（x）=

1-lnx

x2

+a=

1-lnx+ax2

x2

；
故使F（x）=

f(x)

x

在定义域（0，+∞）内为单调增函数可化为
F′（x）≥0在定义域（0，+∞）上恒成立；
即1-lnx+ax²≥0在定义域（0，+∞）上恒成立；
即a≥-

1-lnx

x2

在定义域（0，+∞）上恒成立；
令g（x）=-

1-lnx

x2

，则g′（x）=-

2lnx-3

x3

；
故x∈（0，e

3

2

）时，g′（x）＞0，当x∈（e

3

2

，+∞）时，g′（x）＜0；
故g（x）=-

1-lnx

x2

在（0，e

3

2

）上是增函数，在（e

3

2

，+∞）上是减函数，
故g_max（x）=g（e

3

2

）=

1

2e3

；
故a≥

1

2e3

．
故a的取值范围为[

1

2e3

，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．