Question

已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．

Answer 1

（1)证明：∵圆C过原点O，∴|OC|²＝t²＋.

∴圆C的方程是(x－t)²＋²＝t²＋.

令x＝0，得y₁＝0，y₂＝；令y＝0，得x₁＝0，x₂＝2t.

∴S_△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，

即△OAB的面积为定值．

(2)解析：∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，

∴OC垂直平分线段MN.

∵k_MN＝－2，∴k_OC＝.∴直线OC的方程是y＝x.

∴＝t，解得t＝2或t＝－2.

当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，满足圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．

当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.此时圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

∴t＝－2不符合题意，舍去．

∴圆C的方程为(x－2)²＋(y－1)²＝5.